물리 질문 만들기

1. 진공 상태에서 충돌하면 소리 형태로 전환된 에너지가 빠져나가지 못할 텐데, 이는 물체의 진동으로 남을까 아니면 빛과 열에너지로 전환되는 비율이 늘어날까?
2. 회전하는 공이 떨어트린 뒤 튕겨져 나왔을 때 회전 속도 변화를 통해 바닥면과의 충돌 시간을 알 수 있을까
3. 물체를 구부렸을 때의 탄성력은 중심을 기준으로 인장과 압축으로 나누어 계산할 수 있을까
5. 책상에서 미끄러지며 떨어지는 물체의 회전 속도는 어떻게 구해야할까?

위와 같이 무게가 $m$, 길이가 $2R$인 나무 막대가 책상 끝으로 부터의 거리가 $x$인 지점에 놓여있다고 생각해보자. 이때 물체는 평형을 이루지 못하기 때문에 회전하며 떨어지게 된다. 이 상황에서 떨어지고 있는 나무 막대는 $x$에 따라 얼마나 빠르게 회전할까?

나무 막대는 다음과 같이 모서리와 맞닿은 상태로 미끄러지며 떨어지게 된다. 즉, 물체에 가해지는 힘의 작용점과 크기가 일정하지 않게 된다.

문제를 단순화하기 위해서 2가지 가정을 하였다.

1. 물체의 질량 중심은 좌우로 이동하지 않는다.
2. 나무 막대는 아래 방향으로 일정하게 가속한다.

막대가 책상으로 부터 떨어질 때 더 이상 각속도가 변하지 않으므로 이를 먼저 살펴 보면 위와 같이 $\Delta h=\sqrt{R^2-x^2}$이 되는 지점에서 막대가 책상으로부터 떨어지게 된다. 가속도 $a$가 일정하다고 하였으므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}a{t}^2=\sqrt{R^2-x^2}\\ & t^2=\frac{2\sqrt{R^2-x^2}}{a}\end{array}$$

또한, 에너지 보존 법칙에 따라서

$$\begin{array}{rl}mgh& =\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2\\ mg\sqrt{R^2-x^2}& =\frac{1}{2}m(at{)}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2\end{array}$$

앞에서 구한 $t^2$을 대입하면

$$\begin{array}{rl}& m(g-a)\sqrt{R^2-x^2}=\frac{1}{2}I{\omega }^2\end{array}$$

이를 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}& I=\frac{1}{3}m{R}^2\\ & \omega =\sqrt{\frac{6(g-a)\sqrt{R^2-x^2}}{R^2}}\end{array}$$

떨어지는 물체의 길이가 짧고 초기 위치가 책상 끝을 많이 벗어날 수록 느리게 회전할 것이다.

책상에서 책이 떨어지는 모습을 보고 수업 시간에 배웠던 내용들을 통해 설명할 수 있을 것 같아서 이와 같은 질문을 하게 되었다.

매 순간 책상과 막대 사이의 힘을 통해 토크를 구하고자 했지만 나무 막대가 아래로 가속하면서 힘의 작용점이 계속 변하여 상황을 제한 시키게 된 점이 아쉽다. 위와 같이 물체와 순간적으로 부딪히는 것이 아닌 지속적으로 맞닿아 운동 상태가 변하는 경우를 많이 다루어 보지 않아 어려웠다. 또, 실제로 책상에서 물건을 떨어트릴 때에는 책상 바깥쪽으로 물체가 이동하고 있는 경우도 있기 때문에 이러한 점들을 보완하고 싶다.