문제 모음

1 극한

1.1 다음의 극한값은?

$$\underset{x\to 0}{\lim }(x^4+x^2)\cos \left(\frac{1}{x}\right)$$

1.2 다음의 극한값은?

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x^2}\right)$$

1.3 ${\lim }_{n\to \infty }{\left(\frac{n-2}{n}\right)}^{3n}$의 값은?

1.4 다음을 계산하면?

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x{\sin }^{2}x}{{\tan }^{3}x}$$

1.5 다음 중 옳지 않은 것은?

1. 실수 전체에서 연속인 함수 $f$에 대하여 $f(0)=1$이면 ${\lim }_{x\to 0}\ln f(x)=0$이다.
2. ${\lim }_{x\to \infty }{\tan }^{-1}(x)=\frac{\pi }{2}$
3. ${\lim }_{x\to 1}(\sin (x){)}^{-1}=\frac{\pi }{2}$
4. 모든 실수 $x$에 대하여 $\tan ({\tan }^{-1}x)=x$가 성립한다.
5. $0<x<\frac{\pi }{2}$이면, $\sin x>{\sin }^{2}x$이 성립한다.

1.6 ${\lim }_{\theta \to 0}\frac{\tan \theta -\sin \theta }{{\theta }^3}$의 값은?

1.7 ${\lim }_{x\to 0}2x\cot 3x+{\lim }_{x\to 5}\frac{4\sin (x-5)}{3x^2-18x+15}$의 값은?

1.8 ${\lim }_{x\to -2}\frac{1-\sqrt{x+a}}{x+2}=b$를 만족시키는 상수 $a$, $b$에 대하여 $ab$의 값은?

1.9 다음 극한의 값은?

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^{-\frac{5}{4}}}{\sin \left(\frac{1}{x}\right)}$$

1.10 ${\lim }_{x\to 4^{+}}\frac{[x^2]-16}{x-4}$의 값은? (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다.)

1.11 $f(x)=\{\begin{array}{l}{c}^2{x}^2+2x,x<2\\ x^3-c^{2}x,x\ge 2\end{array}$가 $(-\infty ,\infty )$에서 연속이 되게 하는 상수 $c$의 값을 $c_1$, $c_2$라 하자. $|c_1-c_2|$의 값은?

1.12 $f(x)$가 연속함수일 때, $\alpha$의 값은?

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\alpha & x=0\\ \frac{\sqrt{x^2+16}-4}{x^2}+\frac{\sin x}{3x}& x\ne 0\end{array}$$

1.13 다음 함수 $f(x)$가 $x=0$에서 연속이라고 한다. $a$의 값은?

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-x\sin \left(\frac{1}{e^{4x}}\right)& (x\ne 0)\\ a& (x=0)\end{array}$$

1.14 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& (-1\le x\le 1)\\ -|x|,& (x>1,x<-1)\end{array}$이고, $g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x{)}^2,& (x\le 0)\\ f(f(x)),& (x>0)\end{array}$일때 , 함수 $g(x)$가 불연속인 점들의 $x$ 좌표는?

2 미분

2.1 실수 전체에서 정의된 함수 $f(x)=2x^3+3x$에 대하여 극한값 ${\lim }_{n\to \infty }n{f}^{-1}\left(\frac{1}{n}\right)$은?

2.2 방정식 $e^{2x}=k\sqrt{x}$가 정확히 한 개의 해를 갖기 위한 $k$의 값과 이 때 방정식의 해를 $a$라 할 때, 곱 $ka$의 값은?

2.3 7번 미분 가능한 임의의 두 함수 $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$에 대하여 $(fg{)}^{(7)}=f^{(7)}g+a_1{f}^{(6)}{g}^{(1)}+a_2{f}^{(5)}{g}^{(2)}+\cdots +a_6{f}^{(1)}{g}^{(6)}+f{g}^{(7)}$으로 나타날 때, 상수 $a_1,a_2,\cdots ,a_6$의 평균은?

2.4 미분 가능 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 ${\lim }_{x\to 1}\frac{(f(x)-3)}{x-1}$,${\lim }_{x\to 1}\frac{g(x)+2}{x-1}=2$를 만족시킬 때, 함수 $h(x)=f(x)g(x)$에 대하여 $h^{\prime }(1)$의 값은?

2.5 다음과 같이 정의된 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 미분 가능할 때 $a-b$의 값은?

$$\begin{array}{r}f(x)=\{\begin{array}{ll}ax& (x\le 1)\\ a{x}^2+bx+c& (x>1)\end{array}\end{array}$$

2.6 다음에서 $x=0$에서 미분 가능한 함수를 모두 고르면?

1. $f(x)=\{\begin{array}{ll}\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$
2. $f(x)=\{\begin{array}{ll}x\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$
3. $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$

2.7 실수 전체 집합에서 무한히 미분 가능인 두 함수 $f(x)$, $g(x)$의 $x=1$에서 $n$차 도함수의 값이 $(-2{)}^n$, $(-3{)}^n$이라 할 때, $x=1$에서 $f(x)g(x)$의 8차 도함수의 값은?

2.8 모든 실수에서 미분 가능한 함수 $f(x)$가 $f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f^{\prime }(0)=1$을 만족할 때 $f(1)$의 값은?

2.9 함수 $f_{m,n}(x)$에 대한 설명으로 옳은 것은?

$$\begin{array}{r}{f}_{m,n}(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^m\sin \frac{1}{x^n},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}\end{array}$$

1. $y=f_{0,1}(x)$는 $x=0$에서 연속이다.
2. $y=f_{1,1}(x)$는 최솟값이 존재하지 않는다.
3. $y=f_{2,1}(x)$는 $x=0$에서 미분 가능하다.
4. 극한값 $li{m}_{x\to \infty }{f}_{1,2}(x)=1$이다.

2.11 다음 보기에서 옳은 것만을 있는대로 고른 것은?

1. $x=0$에서 미분 가능한 함수 $f(x)$와 미분 가능하지 않은 함수 $g(x)$를 더한 함수 $f(x)+g(x)$는 $x=0$에서 미분 가능하지 않으나, 곱한 함수 $f(x)g(x)$는 미분 가능할 수도 있다.
2. 모든 실수 $x$에 대하여 $|h(x)-x^2|\le x^{\frac{2}{3}}$를 만족하는 함수 $h(x)$는 $x=0$에서 미분 가능하다.
3. $|x-2|<\delta$이면 $|x^2-2x-4|<\frac{1}{10}$을 만족하는 양의 실수 $\delta$가 존재한다.

2.12 구간 $(0,2\pi )$에서 함수 $f(x)=\arcsin (\sin x)$가 미분 가능하지 않은 점의 개수를 구하면?

2.13