Mean Value Theorem

Fermat’s Theorem

함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 갖고, 미분 가능하면 $f^{\prime }(a)=0$이다.

1. $f(a)$가 극대값인 경우 $f(a):\exists \delta (s.t.f(x)\le f(a),\forall x\in (a-\delta ,a+\delta )\subset X)$

$$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to a+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le 0\\ {\lim }_{x\to a-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge 0\end{array}\\ & \therefore f^{\prime }(a)=0\end{array}$$

2. $f(a)$가 극소값인 경우 위와 동일

Rolle’s Theorem

$f\in C[a,b]$, 개구간 $(a,b)$에서 미분가능하고 $f(a)=0=f(b)$이면 $f^{\prime }(c)=0$을 만족하는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

Generalized Rolle’s Theorem

$f\in C[a,b]$, 개구간 $(a,b)$에서 미분가능하고 $f(a)=f(b)$이면 $f^{\prime }(c)=0$을 만족하는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

Mean Value Theorem

$f\in C([a,b])$이고 개구간 $(a,b)$에서 미분 가능하면

$$\begin{array}{r}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)\end{array}$$

를 만족하는 $c\in (a,b)$가 존재한다.

Cauchy’s mean value Throrem

$f,g\in C([a,b])$이고 개구간 $(a,b)$에서 미분 가능하며, $\forall x\in (a,b)$에 대해 $g^{\prime }(x)\ne 0$이면

$$\frac{f(b)-f(a)}{f()}$$