양자화학 도입부

고체 표면에 빛을 쬐면 광전자라고 불리는 전자들이 방출되고 광전류가 흐르게 된다. 이러한 현상은 빛의 세기와는 상관없이 진동수가 각 금속에 따른 임계값 ${\nu }_0$를 넘어갈 때 나타난다. 한계점 이상의 진동수에서는 광전류가 빛의 진동수에 비례하여 커지게 된다. 진동수가 고정되어있을 때, 광전류의 크기는 광전 음극과 검출기 사이의 전위차에 비례한다. 검출기의 전위차를 점점 낮추다보면, 광전류가 0이되는 전위차를 얻을 수 있다. 이를 통해 전자가 가지는 최대 운동 에너지를 구할 수 있다.

전자가 금속을 빠져나오기 위해서는 $\varphi$ 만큼의 에너지가 필요하다. 또한 표면 밑의 전자는 다른 원자들과의 충돌에 의해 에너지를 잃기 때문에 추가적인 에너지가 필요하다. 표면에서는 이러한 손실이 없어 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& h\nu =\varphi +E_k\\ & E_{max}=\frac{1}{2}m{v}^2=h\nu -\varphi \end{array}$$

위 식은 방출된 전자가 가지는 에너지가 빛의 진동수 $\nu$에 대해 선형임을 나타낸다. 전자가 방출되는 시점에서 $\varphi =h\nu$이고, 이는 금속에 따라 결정되는 ‘일함수’로 전자가 방출되기 위해 필요한 최소한의 에너지이다.

드 브로이 물질파 $L=n\frac{\lambda }{2}$일 때만 정상파를 이룰 수 있다. 전자를 원자핵 주위를 회전하는 원형 정류파로 보았을 때, 다음과 같이 쓸 수 있다. $n\lambda =2\pi r$ 보어의 가정에 따라 전자의 각운동량이 양자화되어 있다고 할 때, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& m_{e}vr=n\bar{h}=n\frac{h}{2\pi }\\ & 2\pi r=n\left[\frac{h}{m_{e}v}\right]\\ & \therefore \lambda =\frac{h}{m_{e}v}=\frac{h}{p}\end{array}$$

하이젠베르크 원리 드 브로이 물질파에서 알 수 있듯이, 파장은 운동량에 비례한다. 즉, 질량이 매우 작은 입자는 파장이 매우 길어 파동성이 부각되고 입자의 운동량과 위치를 동시에 정확하게 측정하는 것이 불가능하다. $\Delta x\Delta p\ge \frac{\bar{h}}{2}=\frac{h}{4\pi }$ 슈뢰딩거 특정 시간, 좌표에서 존재하는 입자의 파동으로서의 진폭을 나타낸다.

1차원에서 운동량 $p$를 가지고 자유롭게 운동하는 입자의 파동함수:

$$\begin{array}{rl}& \psi (x)=A\sin \frac{2\pi x}{\lambda }\&A\cos \frac{2\pi x}{\lambda }\\ & \frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}=-{\left(\frac{2\pi }{\lambda }\right)}^2\psi (x)=-{\left(\frac{2\pi }{h}p\right)}^2\psi (x)\\ & \psi (x)=-\frac{h^2}{4{\pi }^2{p}^2}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}\end{array}$$

이때 운동 에너지는 다음과 같이 쓸 수 있다. $E_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{p^2}{2m}=\frac{h^2}{2m{\lambda }^2}$ 따라서

$$\begin{array}{r}{E}_k\psi (x)=-\frac{h^2}{8{\pi }^{2}m}\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}\end{array}$$

입자를 파동 형태의 에너지로 보았을 때 에너지 분포를 의미?

1차원 상자 퍼텐셜 에너지 장벽에 의해 공간의 특정 영역에 갇힌 입자의 에너지 분포를 구할 수 있다. 경계 조건은 다음과 같다:

• 퍼텐셜 에너지$V(x)$는 $0<x<L$에서 0, 나머지 영역에서 무한대의 값을 가진다. $E=V+E_k$이므로 구간 내에서 입자의 에너지는 양수이다. 또한 에너지는 유한한 값을 가지므로 구간 밖에서 에너지는 0이다.
• $\psi (0)=\psi (L)=0$을 만족해야 한다.

이를 만족하는 $\psi (x)$는 다음과 같다. $\psi (x)=A\sin kx$ 정상파 조건에 따라 $kL=n\pi$이므로 $\psi (x)=A\sin \left(\frac{n\pi }{L}x\right)$

파동함수의 제곱은 입자의 확률 분포를 나타내기 때문에 정규화되어야 한다. 따라서

$$\begin{array}{rlr}& {\int }_0^L\psi (x)dx& =A^2{\int }_0^L{\sin }^{2}kxdx=A^2\frac{L}{2}=1\\ & \therefore A=\sqrt{\frac{2}{L}}& \end{array}$$

${\psi }_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$ 이를 두 번 미분해보면

$$\frac{d^2\psi (x)}{d{x}^2}=-{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2\psi (x)$$

앞서 구한 식을 통해 다음을 얻을 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& \frac{d^2{\psi }_n(x)}{d{x}^2}=-\frac{8{\pi }^{2}m{E}_n}{h^2}{\psi }_n(x)=-{\left(\frac{n\pi }{L}\right)}^2{\psi }_n(x)\\ & E_n=\frac{n^2{h}^2}{8m{L}^2}\end{array}$$

$E_0$에서 에너지가 0이 되지만 $\Delta x$가 무한대가 되므로 구간 $L$을 벗어난다.

✨ 이 조건대로면 $\Delta p\ge \frac{h}{4\pi L}$도 만족해야하지 않을까?

양자수 $n$이 큰 값을 가질 때에는 확률이 균일해져 고전 역학과 유사한 결과가 나타난다.

2, 3차원 상자 속 입자의 에너지 준위 파동함수는 독립적인 운동의 파동함수들의 곱으로 주어진다. 서로 다른 축 방향에서 에너지는 독립적이다. $E_{n_x{n}_y{n}_z}=E_{n_x}+E_{n_y}+E_{n_z}=\frac{h^2}{8m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}+\frac{n_z^2}{L_z^2}\right)$ 축퇴 차원 수와 함께 양자수의 조합이 늘어남에 따라 에너지의 크기가 중복되는 경우가 생긴다. 이때 하나 이상의 양자 상태에 해당하는 에너지 준위들을 축퇴되어 있다고 한다.

에너지 준위 단전자 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해에 따라 특정 에너지 준위만 가질 수 있다. $E=E_n=-\frac{Z^2{e}^4{m}_e}{8{ϵ}_0^2{n}^2{h}^2}$

Rydberg $E_n=-\frac{Z^2}{n^2}(rydberg)$

슈뢰딩거 방정식을 풀면 $L^2$과 $L_z$ 또한 양자화되어 있음을 알 수 있다. 이때의 에너지 준위를 나타내기 위해 각운동량 양자수 $l$과 자기양자수 $m$을 사용한다.

$$\begin{array}{rl}& L^2=l(l+1)\frac{h^2}{4{\pi }^2}\\ & L_z=m\frac{h}{2\pi }\end{array}$$

✨ $L=\sqrt{l(l+1)}\frac{h}{2\pi }$이고 $L_z=m\frac{h}{2\pi }$이다. 이때 $L_x=L_y$인가? 그렇다면 다음과 같이 계산할 수 있는가?

\begin{align} &L_{x}+L_{y}=L-L_{x} \ &L_{x}=\frac{1}{2} (L-L_{z})=\frac{1}{2}(\sqrt{ l(l+1) }-m) \frac{h}{2\pi} \end{align}

$$\ast \ast 파동함수\ast \ast$$