급수

1 수렴·발산 판정

1.1 발산판정법

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\ne 0\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$$

1.2 적분판정법

1.2.1 적분판정법

$$\begin{array}{rl}& f:[0,\infty )\to [0,\infty )\\ & \forall x,y\in [0,\infty ]:x\le y\Rightarrow f(x)\ge f(y)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& n\in \mathbb{N}\\ & f(n+1)\le f(x)\le f(n)\\ & f(n+1)\le {\int }_n^{n+1}f(x)dx\le f(n)\\ & \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\le \sum _{n=0}^{\infty }{\int }_n^{n+1}f(x)dx\le \sum _{n=0}^{\infty }f(n)\\ & \sum _{n=1}^{\infty }f(n)\le {\int }_0^{\infty }f(x)dx\le \sum _{n=0}^{\infty }f(n)\end{array}$$

따라서 이들의 수렴 여부가 동치이다.

1.2.2 p 급수판정법

$$\begin{array}{rl}& f(x)=\frac{1}{x^p}\\ & f:(0,\infty )\to (0,\infty )\\ & \forall x,y\in (0,\infty ):x\le y\Rightarrow f(x)\ge f(y)\\ & \Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}\le {\int }_0^{\infty }\frac{1}{n^p}dx\le \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n^p}\end{array}$$

$p$ 급수의 수렴 여부는 그 적분의 수렴 여부와 동치이다.

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^c\frac{1}{x^p}dx& =\underset{t\to 0+}{\lim }{\int }_t^c\frac{1}{x^p}dx(p>0,c>0)\\ & =\underset{t\to 0+}{\lim }{\left[\frac{1}{1-p}{x}^{1-p}\right]}_t^c\\ & =\underset{t\to 0+}{\lim }\left[\frac{1}{1-p}{c}^{1-p}-\frac{1}{1-p}{t}^{1-p}\right]\end{array}$$

$1-p\le 0$인 경우 발산하므로 $p$ 급수의 수렴 조건은 $p>1$이다.

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{p-1}(p>1)\\ \infty (1\ge p\ge 0)\end{array}$$

1.3 비교판정법

1.3.1 비교판정법

두 급수 $s_a={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$, $s_b={\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$의 일반항이 $b_n>a_n$이면 $s_a$가 발산하면 $s_b$도 발산한다. $s_b$가 수렴하면 $s_a$도 수렴한다. 수렴하는 급수: $\frac{1}{n^n}<\frac{1}{n!}<\frac{1}{2^n}<\frac{1}{n^2}$ 발산하는 급수: $\frac{1}{n}<\frac{1}{\ln n}<const,\sin n<\ln n<n^2<2^n<n!<n^n$

합차인 경우 $b_n>c_n$일 때, $c_n$을 무시해도 수렴, 발산이 변하지 않는다.

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{b_n\pm c_n}\approx \sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{b_n}$$

분수식인 경우 $b_n>a_n$일 때, $a_n$을 무시하여도 수렴, 발산이 변하지 않는다.

$$\begin{array}{rl}& \sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{b_n}\approx \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{b_n}\\ & \sum _{n=1}^{\infty }\frac{b_n}{a_n}\approx \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\end{array}$$

곱셈인 경우 적용 결과가 수렴인 경우에만 무기 가능하다.

1.4 극한 비교판정법