Trapezoidal Rule

정적분을 수치적으로 근사하기 위한 방법. 주어진 구간을 등분한 뒤 다음과 같이 함수의 적분 값을 구한다.

$$\hat{F}=\sum _{i=0}^{n-1}\frac{(x_{i+1}-x_i)(f(x_{i+1})-f(x_i))}{2}$$

오차

$n$등분 했을 때 각 구간의 간격을 $h=x_{i+1}-x_i$라고 하면

$${\int }_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)dx={\int }_0^{h}f(t+x_i)dt\text{\hspace{1em}(1)}$$

이때

$$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx\text{\hspace{1em}(2)}$$

이므로

$${\int }_0^{h}f(t+x_i)dx=[f(t+x_i)\cdot (t+A){]}_0^h-{\int }_0^h{f}^{\prime }(t+x_i)\cdot (t+A)dt\text{\hspace{1em}(3)}$$

다시 (2)에 의해

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{h}f(t+x_i)dx& =[f(t+x_i)\cdot (t+A){]}_0^h\\ & -{\left[f^{\prime }(t+x_i)\cdot \left(\frac{(t+A{)}^2}{2}+B\right)\right]}_0^h+{\int }_0^h{f}^{\prime \prime }(t+x_i)\cdot \left(\frac{(t+A{)}^2}{2}+B\right)dt\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

위 식을 간단히 하기 위해 $F_i=\widehat{F_i}-E_i$라고 생각해보자. $\widehat{F_i}=\frac{(x_{i+1}-x_i)(f(x_{i+1})-f(x_i))}{2}$ 이므로, 우변의 첫 항을 $\widehat{F_i}$, 나머지 항을 오차 $E_i$라고 생각할 수 있다.

따라서 우변의 첫 항에 $x_{i+1}=h+x_i$를 대입하면

$$\begin{array}{rl}[f(t+x_i)\cdot (t+A){]}_0^h& =f(h+x_i)\cdot (h+A)-f(x_i)\cdot A\\ & =(h+A)\cdot f(x_{i+1})-A\cdot f(x_i)\\ A& =-\frac{h}{2}\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

둘째 항을 간단히 하기 위해 $B=-\frac{h^2}{8}$이라고 두면

$${\int }_0^{h}f(t+x_i)dx=[f(t+x_i)\cdot (t+A){]}_0^h+{\int }_0^h{f}^{\prime \prime }(t+x_i)\cdot \left(\frac{(t+A{)}^2}{2}+B\right)dt\text{\hspace{1em}(6)}$$

따라서 오차 $E_i$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$E_i=-{\int }_0^h{f}^{\prime \prime }(t+x_i)\cdot \left(\frac{(t+A{)}^2}{2}+B\right)dt\text{\hspace{1em}(7)}$$

오차의 크기는

$$\begin{array}{rl}|E_i|& =|{\int }_0^h{f}^{\prime \prime }(t+x_i)\cdot \left(\frac{(t+A{)}^2}{2}+B\right)dt|\\ & \le {\int }_0^h|f^{\prime \prime }(t+x_i)|\cdot \left|\frac{(t+A{)}^2}{2}+B\right|dt\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

각 구간에서 $f^{\prime \prime }$의 최댓값을 $M_i$이라고 하면

$$\begin{array}{rl}|E_i|& \le M_i{\int }_0^h\left|\frac{(t+A{)}^2}{2}+B\right|dt\\ & =M_i{\int }_0^h\left|\frac{{\left(t+\frac{h}{2}\right)}^2}{2}-\frac{h^2}{8}\right|dt\\ & =M_i{\int }_0^h\frac{h^2}{8}-\frac{{\left(t+\frac{h}{2}\right)}^2}{2}dt\\ & =M_i\frac{h^3}{12}\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$

전체 구간에서 오차는

$$\begin{array}{rl}{E}_t& =\sum _{i=0}^{n-1}{E}_i\\ & \le \frac{h^3}{12}\sum _{i=0}^{n-1}{M}_i\\ & =\frac{(b-a{)}^3}{12n^3}\sum _{i=0}^{n-1}{M}_i\end{array}\text{\hspace{1em}(10)}$$

구간 $[a,b]$에서 $f^{\prime \prime }$의 최댓값을 $M_t$로 두면

$$E_t\le \frac{(b-a{)}^3}{12n^3}\cdot n{M}_t=\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}M\text{\hspace{1em}(11)}$$

따라서 오차는 $n^2$에 반비례한다.