Bayes's theorem

사전 확률과 가능도를 통해 두 배반 사건에 대한 사후 확률을 구하기 위한 방법이다. 사건 Conditional Probability를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다:

P (A ∣ B) P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{P ( A ∣ B ) P ( B )}{P ( A )}

일반화

표본공간 $S$ 를 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 로 분할하면 다음과 같이 쓸 수 있다:

S P (A_{i} ∣ B) = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{n} = \frac{P ( A _{i} \cap B )}{P ( B )}

이때 $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots A_{n} = S$ 이므로

P (B) ∴ P (A_{i} ∣ B) = P (B \cap (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots A_{n})) = P (B ∣ A_{1}) P (A_{1}) + P (B ∣ A_{2}) P (A_{2}) \dots + P (B ∣ A_{n}) P (A_{n}) = \frac{P ( B ∣ A _{i} ) P ( A _{i} )}{P ( B ∣ A _{1} ) P ( A _{1} ) + P ( B ∣ A _{2} ) P ( A _{2} ) \dots + P ( B ∣ A _{n} ) P ( A _{n} )}